式（6-25a)是輸入型DEA對偶模型，其中對偶變量日的取值盡管無限制，但實 際上有00，i=1，2，… m;;>0,j=1，2…,0,則稱被評單位k。 是DEA有效的。 這里不加證明地給出如下結果，如果讀者想了解證明過程，請參考相關文獻 (魏權齡，2004）。 定理6-12R模型都具有最優解，并且min0=maxByA。<1。 定理6-2至少存在一個決策單元是DEA有效的。

    定理6-3決策單元的弱DEA有效和DEA有效與輸入量和輸出量的量綱 無關。 定理6-4決策單元的各輸入、輸出量同倍增長不會影響決策單元的弱DEA 有效性和DEA有效性。 定理6-5C2R的輸人模型和輸出模型的原問題具有相同的最優解，并且最 優目標函數值互為倒數；min E。 而axE云”對偶問題的最優解滿足關系(6-26)。 以上定理為DEA法奠定了理論基礎，通過這些定理可以得出以下結論。 

   （1）R模型都存在最優解，幾種模型的最優解是等價的。 

   （2）DEA有效性評價與輸入、輸出量量綱無關，也與它們的同倍增加和減少 無關。

    (3）DEA有效性評價實際上是各決策單元之間相對比較后得出的結果，是相 對有效性評價。

    (4)各決策單元必須是同一類單元，相互之間具有可比性，用于評價的輸入輸 出量種類相同（數值不同）。

     另外，在DEA模型（6-24)中，如果約束條件數n和決策變量a，、β個數 （m+o)之間，滿足關系(m十o）>n+1，則根據基本可行解的特性，最優的基本可 行解中必有決策變量等于0，那么能否根據DEA有效性的定義6-2，就斷定該決策 單元只是弱DEA有效的?一般不能。因為在這種情況下，C2R模型可能存在無 窮多最優解，其中最優解凸集的頂點在坐標軸上，凸集的內點都是最優解，這些內 點中可能存在各決策變量都大于零的點，此時是DEA有效的。 例6-3在例6-2中，以航線為決策單元，n=5，投入是運行成本，產出包括收 益、貢獻值和需求，因此，m=1，o=3。表6-7給出了投入和產出量的具體數值，現 評價這5條航線的有效性。 解取航線1為被評單位：ko=1，并令x=a3，y1=a1，y2=a2，y3=a4。根據 表6-7的數據，輸出型DEA對偶模型如下： 以其他航線為被評單位，可以給出另外4個類似的模型，可用ILOG/CPLEX 編程求解給出，即對于航線1：A:=0，iA3，p3=1.25，～1.125 對于航線2：A:=0，i決3，p3=1.25,7'=1.o227 對于航線3：pi=0，i3，p3=1.0，=1.6 對于航線4：p1=0，iA3，p3=1.5，7=1.680 對于航線5：p:=0，i產5，5E1.0.7c1.6 根據定理6-5和定義6-1可知，只有航線3和航線5至少是弱DEA有效的， 其他三條航線都是非DEA有效的。

     根據定理6-2可知，在航線3和航線5中至少 有一條是DEA有效的。根據互補松弛定理可知，對于航線3和航線5的情況，由 子對偶問題約束條件的松弛變量都等于0，很有可能原問題的決策變量最優解a、 a20.k=1,2.3,4,5，帶想這兩條航線都是DEA有效的。請同學們通過計算原間 題最優解ax、BA來驗證這個結論。 DEA法不能給出被評對象的優劣排序，只能評價其是否DEA有效。對于上 例，我們無法再給出航線3和航線5誰更好些。對于非DEA有效的航線1、航線2 和航線4，是否能根據最優解的結果，給出航線1最差的結論?請同學們討論這個 問題。 從上述討論可以看出，DEA法不受主觀判斷的影響，權重只受選擇的輸入量 和輸出量影響，也就是如果選擇不同的輸人量和輸出量，評價結果可能不同。

    例如，如果把需求從輸出量中刪除，也就是本公司對需求大小（市場份額）不太關心， 則重新進行DEA分析發現，航線5的效率系數成為 對于航線5：p:=0，i3，p3=1.0，7=1.2 其他航線的效率系數不變。因此，航線5已變成非DEA有效的了，此時只有 航線3是DEA有效的。 上述結論與層次分析法產生的結果不太一致，層次分析法評價的結果排在前 面的不一定是DEA有效的。因為層次分析法分析的結果受權重影響比較大，權 重是由專家在屬性之間兩兩比較后給出的，受主觀因素影響比較重，所以只能通過 一致性檢驗判斷權重的合理性。